Speciale Priemgetallen
Hoofdredacteur Konstantin Kakaes bespreekt wat priemgetallen zijn en waarom ze zo'n belangrijke rol spelen in de wiskunde.
1, 2, 3, 4, 5 — wiskunde begint met tellen. Daarna komt optellen en dan vermenigvuldigen. Op het eerste gezicht lijken ze behoorlijk op elkaar. Vermenigvuldiging is immers gewoon herhaald optellen: 7 × 5 is een kortere manier om 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 te schrijven.
Maar als je een blik werpt op getallen om te zien waar ze uit bestaan, valt deze aanvankelijke gelijkenis weg. Probeer een willekeurig geheel getal op te delen in kleinere delen met behulp van optellen en je hebt een rijk buffet aan opties. Bijvoorbeeld, 11 = 5 + 6 = 4 + 7 = 3 + 3 + 3 + 2. (Er zijn 56 manieren om 11 te splitsen.) Naarmate getallen groter worden, groeit het aantal partities gestaag. Maar als je in plaats daarvan getallen probeert te splitsen met behulp van vermenigvuldiging, ontstaat er een heel ander beeld. Er zijn veel manieren om 30 te splitsen — er zijn 3 × 10 en 5 × 6 en 2 × 15. Maar 31 kan helemaal niet worden gesplitst. Het is priem. De enige factoren zijn zichzelf en 1.
Dit onderscheid tussen optellen en vermenigvuldigen is een van de zachtste bergpassen in de hoge wildernis van de abstracte wiskunde. De definitie van priemgetallen omvat vermenigvuldiging. Maar de priemgetallen vormen ook additieve patronen met een mysterieuze textuur.
Veel van deze patronen hebben de grootste open problemen van de wiskunde gemotiveerd. Wiskundigen vermoeden bijvoorbeeld dat er oneindig veel tweelingpriemgetallen zijn — priemgetallen (multiplicatief) die 2 verschillen (additief), zoals 29 en 31 of 41 en 43. Maar niemand heeft dit met zekerheid kunnen aantonen. Evenzo denken wiskundigen dat elk even getal groter dan 2 kan worden geschreven als de som van twee priemgetallen, een probleem dat Goldbachs vermoeden wordt genoemd. Ook dit is nog steeds onbewezen.
Maar talloze andere feiten zijn goed vastgesteld. Er zijn oneindig veel priemgetallen. Wiskundigen blijven nieuwe bewijzen hiervoor bedenken, ook al is het een van de oudste resultaten in de wiskunde. Het is ook bekend dat priemgetallen schaarser worden langs de getallenlijn. In 1896 bewezen Jacques Hadamard en Charles-Jean de la Vallée Poussin onafhankelijk van elkaar de zogenaamde priemgetallenstelling, die een zeer goede schatting geeft van hoe zeldzaam ze worden. Deze stelling is een van de fundamentele resultaten van de analytische getallentheorie, een tak van de wiskunde die de studie van gehele getallen verbindt met vloeiend veranderende functies.
Wat is nieuw en opmerkelijk
Op het eerste gezicht zouden gehele getallen en functies weinig met elkaar te maken moeten hebben. Maar de verbinding tussen hen is diepgaand. Een van de meest verleidelijke onderdelen is de Riemann-hypothese, misschien wel de belangrijkste (en meest onoplosbare) open vraag in de moderne wiskunde.
Op het eerste gezicht heeft de hypothese niets te maken met priemgetallen — het gaat over het gedrag van een oneindige som die niet direct met priemgetallen te maken heeft. Maar als het waar is, zullen wiskundigen een manier hebben om rekening te houden met afwijkingen van de voorspellingen van de priemgetallenstelling. De priemgetallen lijken lukraak verspreid te zijn over de gehele getallen, maar de Riemann-hypothese biedt een soort gnomische sleutel die verklaart waarom ze verschijnen wanneer ze dat doen.
In mei bewezen James Maynard en Larry Guth een nieuwe grens voor mogelijke uitzonderingen op de hypothese. (Fysici hebben ook ideeën over hoe dit aan te pakken.) Vorig jaar bewezen drie van Maynards studenten een nieuw resultaat over hoe priemgetallen worden verdeeld in verschillende soorten wiskundige emmers. Weer andere onderzoekslijnen onderzoeken hoe priemgetallen worden verdeeld in kortere intervallen.
Het is al lang bekend dat priemgetallen klonters vormen — soms laten ze grote gaten tussen zich, en soms kleine. In 2013 bewees Yitang Zhang, toen nog een onbekende wiskundige, dat er oneindig veel priemgetallen zijn die door minder dan 70 miljoen getallen van elkaar gescheiden zijn. Dit was de eerste grote stap in het aantonen dat er oneindig veel tweelingpriemgetallen zijn: 70 miljoen, hoewel een groot aantal, is eindig.
Een paar maanden later liet een samenwerking met Maynard zien dat het mogelijk is om het iets beter te doen: ze verkleinden de kloof van 70 miljoen naar 600.
Even interessant voor wiskundigen is de vraag hoe ver priemgetallen uit elkaar kunnen liggen. (Zelfs als sommige priemgetallen dicht bij elkaar staan, staan andere paren aangrenzende priemgetallen ver uit elkaar.) De gemiddelde afstand neigt naar oneindig voor grote getallen, maar wiskundigen proberen te karakteriseren hoe snel gaten kunnen groeien.
De priemgetallen creëren veel patronen die verder gaan dan alleen hoe ze verdeeld zijn. Behalve 2 zijn alle priemgetallen oneven. Dit betekent dat sommige, zoals 5, een rest van 1 achterlaten als ze door 4 worden gedeeld, terwijl andere, zoals 11, een rest van 3 achterlaten. Het blijkt dat deze twee verschillende soorten priemgetallen fundamenteel verschillend gedrag vertonen, een feit dat kwadratische reciprociteit wordt genoemd en dat voor het eerst werd bewezen door Carl Gauss in de 19e eeuw. Reciprociteit is een basisinstrument voor wiskundigen van vandaag. Het speelde bijvoorbeeld een belangrijke rol in een bewijs afgelopen zomer over hoe cirkels kunnen worden samengevoegd.
Het idee van priemgetallen, of ondeelbaarheid, is niet alleen beperkt tot getallen. Uitdrukkingen die polynomen worden genoemd, zoals x⁵ + 3x² + 1, kunnen ook priemgetallen zijn. In 2018 toonden twee wiskundigen aan dat bijna alle polynomen in een bepaalde klasse priemgetallen zijn.
Het is op het eerste gezicht niet duidelijk hoe speciaal priemgetallen zijn. Als je telt, lijkt het een curiositeit dat, laten we zeggen, 7 en 11 ondeelbaar zijn op een manier waarop andere getallen dat niet zijn. Maar de simpele handeling van tellen creëert subtiele en complexe structuren die iedereen een glimp laten opvangen van de onverbiddelijke grootsheid van wiskundige waarheid.
De Great Internet Mersenne Prime Search is op jacht naar de grootste bekende priemgetallen.
Quanta
Simons Foundation
160 5th Avenue, 7th Floor
New York, NY 10010
Afmelden | Over Quanta
Privacybeleid | Voorwaarden | Contact opnemen